12 agosto 2014

Modelli matematici per i salti nel wushu

Studio delle traiettorie nei calci volanti con i modelli matematici

La traiettoria di un calcio volante è una parabola concava verso il basso la cui formula è

Y = -a x al quadrato + bx + c

Centriamo la parabola sugli assi cartesiani in modo che il vertice sia sull’asse delle ordinate e che i punti di salto e atterraggio compaiano sull’asse delle ascisse; L’equazione di una parabola passante per i punti (-1,0) e (1,0) avente come vertice (0,1) è data dal sistema

-b / 2 a = 0
4ac – b2 / 4 a = 1
0 = a +- b + c

area salti

La soluzione del sistema fornisce la parabola che descrive la traiettoria del salto

y = – x al quadrato + 1

L’area sotto la parabola rappresenta la potenza sviluppata durante il salto ed è data dall’integrale definito compreso tra +1 e -1 di

– x al quadrato + 1 dx

La soluzione dell’integrale per i valori attribuiti è la seguente:

– 1/3 x3 + x + c = – 1 /3 + 1 – 1/3 – 1 = 4/3

Cosa succede se raddoppia la lunghezza del salto? Proviamo a costruire la parabola passante per i punti (-2, 0) corrispondente al salto, e (2,0) corrispondente all’atterraggio.
Dato che l’atleta è sempre lo stesso la potenza sviluppata rimane uguale, pertanto l’area sotto la curva ha la stessa ampiezza. Calcolo l’equazione della nuova parabola: la soluzione è data dal sistema

– b / 2 a = 0
4 a + – 2b + c = 0
Integrale della curva = 4/3

La soluzione del sistema ci da la parabola

Y = – x2 / 8 + 1 / 2

Il vertice della parabola si trova con la formula

Y = 4ac – b2 / 4 a
Y = 4 x 1/8 x 1/2 / a x 1/8 = 1/2

È la metà del precedente

aree salti

Questo lascerebbe intendere che accorciando la distanza tra salto e atterraggio fino a saltare sul posto si raggiungerebbe un’altezza sempre maggiore, ma non è così in quanto la potenza sviluppabile non è infinita, un atleta può raggiungere un massimo oltre il quale non può saltare. Consideriamo una parabola in cui l’altezza massima è la stessa della precedente ma è dimezzata la distanza tra salto e atterraggio
L’equazione è data dal sistema

– b / 2 a = 0
4ac – b2 / 4 a = 1
1 / 4 a +- 1 / 2 b + c

L’equazione della parabola cercata è

Y = – 4 x2 + 1

Calcolando l’area con l’integrale definito da + 1/2 – 1/2

– 4x al quadrato + 1 dx = 2/3 (la metà)

area salti 2

Dimezzando la lunghezza del salto a parità di altezza teorica (la massima raggiungibile dall’atleta), la potenza sviluppata si è dimezzata; la massima altezza aggiungibile è data dalla formula

H max = 1/2 Vo al quadrato sin al quadrato a / g

H = Altezza massima
Vo = velocità al momento dello stacco
sin a = componente verticale dell’angolo di salto (da 0 a 1)
g = accelerazione di gravità

Le uniche variabili su cui l’atleta può agire sono la velocità e l’angolo di salto, ma per aumentare l’angolo deve diminuire la velocità. Il successo del salto dipende dalla somma vettoriale tra l’impulso di forza determinato dalla spinta e la quantità di moto determinata dalla velocità di rincorsa

Dal punto di vista della fisica, Impulso e Quantità di Moto si equivalgono

I = Qm F x t = m x v

Se la rincorsa per il salto è eccessiva, l’angolo di salto è poco ampio; una rincorsa facendo l’ultimo passo corto (baricentro avanti) comporta che allo stacco la velocità cala fino ad un massimo del 30% (arrivo veloce al salto), l’angolo di salto è 20-25° (poco), la spinta grava su anca, ginocchio e caviglia e la parabola di volo risulta bassa.
Diversamente, una rincorsa facendo l’ultimo passo lungo (baricentro dietro il piede)comporta che allo stacco la velocità cala oltre il 30% (è minore), ma l’angolo di salto è maggiore, la spinta grava sui glutei (estensori dell’anca) e la parabola di volo risulta più alta.
I calcoli matematici e le leggi della biomeccanica ci portano pertanto alle seguenti conclusioni:
per saltare bisogna cercare di sviluppare la massima area sotto la parabola raggiungendo la massima altezza possibile
è più importante l’angolo di salto che la velocità
è meglio fare l’ultimo passo lungo, saltando con il baricentro dietro il piede d’appoggio
è bene allenare gli estensori dell’anca (glutei) oltre ai quadricipiti femorali e i polpacci per lo stacco e gli estensori del ginocchio oltre ai polpacci per l’atterraggio