12 agosto 2014

Meccanica rotazionale nelle armi corte

il maneggio dell’arma con l’aiuto delle leggi della dinamica rotazionale

La dinamica della spada e della sciabola risponde alle leggi della meccanica rotazionale dei corpi rigidi attorno a un asse: nella fattispecie il corpo rigido è l’arma o il sistema arma-braccio, l’asse di rotazione è il polso o l’articolazione scapolo-omerale. I parametri da tenere in considerazione sono quelli della dinamica classica: forza, massa, accelerazione, velocità, spazio, tempo, lavoro, potenza, energia cinetica; tuttavia va considerato che, a parte le stoccate rettilinee, tutta o quasi la fisica della spada è meccanica rotazionale. Pertanto i parametri della dinamica rettilinea vanno convertiti in quelli della dinamica rotazionale. Prima di proseguire lo studio dell’uso della spada dal punto di vista della fisica, facciamo un richiamo delle principali grandezze e formule fisiche.

Meccanica rettilinea:simbolo Meccanica rotazionale: simbolo
Tempo t Tempo t
Spazio percorso s Angolo percorso O
Velocità v Velocità angolare W
Accelerazione a Accelerazione angolare aa
Massa m Massa inerziale I
Forza f Momento M
Quantità di moto Q Momento angolare A
Impulso della forza J Impulso angolare J
Energia cinetica Ec Energia cinetica rotazionale Ec
Lavoro L Lavoro rotazionale L
Potenza P Potenza rotazionale P

Un corpo di massa m che si muove ruotando su un asse di lunghezza r con velocità angolare è dotato di energia cinetica Ec = 1/2 m v al quadrato. Sapendo che la velocità periferica di un corpo che si muove di moto curvilineo aumenta con il raggio ed è uguale a
v = r , l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione è

Ec = 1/2 m v al quadrato = 1/2 m W al quadrato r al quadrato =
Ec = 1/2 m r al quadrato w al quadrato

Osservando le due formule, vediamo come l’equivalente rotazionale della massa nel moto rettilineo è la grandezza m r al quadrato che noi definiremo massa inerziale e indicheremo con I = m r al quadrato.

La quantità di moto di un corpo che si muove di moto rettilineo è data dal prodotto della massa per la velocità secondo la relazione Q = mv. Se esprimiamo ora la seconda legge della dinamica in base alla relazione F = ma, sviluppando la formula

F = ma = mv/t = Q/t

Ft = Q

Possiamo verificare come la quantità di moto della spada lungo il tragitto equivale al prodotto della forza per il tempo durante il quale questa viene espressa, vale a dire l’impulso della forza, che indicheremo con J. Per studiare le condizioni in cui possiamo imprimere il migliore impulso di forza alla spada in una tecnica quale gua jian , il giro della spada prima sulla sinistra e poi sulla destra, dobbiamo convertire la quantità di moto rettilinea in quantità di moto rotazionale.

In un corpo che ruota, la quantità di moto dipende dalla distanza dall’asse di rotazione (lunghezza del braccio) e dall’angolo tra la spada ed il braccio secondo la formula

A = r vettor Q = r Q sin O

componente utile forza di rotazione

Dove r è il raggio di rotazione del corpo (la lunghezza del braccio), il simbolo “vettor” equivale a “prodotto vettoriale”, cioè al prodotto tra le due grandezze per il seno dell’angolo formato dalla direzione del vettore Q con il raggio di rotazione r. Essendo il valore del seno di un angolo massimo per O = 90°, appare evidente come il massimo valore della quantità di moto della spada si abbia quando l’arma forma un angolo di 90° con il braccio. La quantità di moto rotazionale prende il nome di Momento Angolare, che indicheremo con A.

Derivando il momento angolare rispetto al tempo (cioè esprimendo la quantità di moto dell’arma in un tempo infinitesimale)

dA / dt = d( r vettor Q ) / dt

la derivata di un prodotto è uguale alla somma della derivata del primo termine per il secondo con il primo termine per la derivata del secondo

dA / dt = d( r vettor Q ) / dt = dr /dt vettor Q + r vettor dQ /dt

la derivata della distanza r nel tempo non è altro che la derivata della velocità che corrisponde allo spostamento istantaneo della spada lungo il cerchio che descrive

dr /dt = dv

dunque

dA / dt = ( dr vettor Q ) / dt = dr /dt vettor Q + r vettor dQ /dt =
dv sin O mv + r vettor dQ /dt

ma il prodotto dv sin O mv è uguale a zero, in quanto i moduli delle velocità media e istantanea della spada sono paralleli (e il sin 0° = 0), quindi

dA / dt = r vettor dQ /dt

ricordando che F = ma = m dv / dt e dunque F = dQ /dt possiamo concludere che il momento angolare istantaneo della spada è il prodotto vettoriale tra la forza impressa all’arma e la lunghezza del braccio e costituisce il momento rotazionale M

dA / dt = r vettor F = M

Grazie all’aiuto della meccanica rotazionale abbiamo capito che è vantaggioso, oltre che tecnicamente corretto, tenere la spada a 90° con il polso e imprimere una forza in partenza che faccia compiere alla spada tutto il giro semplicemente per inerzia.

polso spada

L’ultima domanda plausibile è: “E’ necessario mantenere la forza per tutto il tragitto della spada”? Per rispondere dobbiamo considerare il Lavoro compiuto dalla spada durante il tragitto. Nella meccanica rotazionale il lavoro è

integrale di dL = integrale di F ds = integrale di F cos B (angolo tangente-arco, trascurabile) b cos O (angolo percorso)

ma dalla meccanica rettilinea (sugli spostamenti curvilinei infinitesimali possiamo approssimare lo spostamento interpretandolo rettilineo) sappiamo che F cos B b
(la proiezione del modulo della forza sull’ortogonale rispetto al braccio b) è uguale al momento meccanico M. Dunque il lavoro compiuto dalla spada lungo il percorso avente angolo O è

L = M O

Derivando il lavoro rispetto al tempo ottengo la potenza impressa alla spada

P = dL / dt = M dO / dt = M W

Che equivale al prodotto del momento per la velocità angolare. L’incremento dell’energia cinetica della spada in base al teorema dell’energia cinetica è

L = integrale definito da x a xo di F dx = integrale definito da x a xo di m a dx =
integrale definito da x a xo di m (dv /dt )dx

Moltiplicando e dividendo per dx

L = integrale definito da x a xo di m (dv /dt )dx = integrale definito da x a xo di m (dv / dx ) (dx / dt ) dx

Semplificando dx

L = integrale definito da x a xo di m dv v = integrale definito da x a xo di m v dv =

1/2 m v al quadrato – 1/2 m vo al quadrato

lungo un tragitto curvilineo l’energia cinetica è Ec = 1/2 I w al quadrato

L’incremento istantaneo di energia cinetica non è altro che la potenza impressa all’arma che compie un moto circolare è

P = dL / dt = d Ec /dt = d 1/2 I W al quadrato / dt = 1/2 I dW al quadrato / dt

dw al quadrato è una funzione composta che si sviluppa come 2W dW

P = 1/2 I 2W dW / dt

Semplificando 1/2 con 2 e ricordando che W dW / dt = aa (accelerazione angolare) ne consegue che la potenza impressa alla spada è il prodotto tra la massa inerziale della spada, la velocità angolare e l’accelerazione angolare.

P = I W aa

Eguagliando le due equazioni P = M W e P = I W aa

P = M W = I W aa

Semplificando W

Ottengo che il momento meccanico di una forza applicata a un corpo rigido che ruota attorno a un asse (la spada che si muove curvilinea su un asse verticale a braccio teso) è uguale al prodotto della massa inerziale per l’accelerazione angolare, che è l’equivalente della seconda legge della dinamica F = ma

M = I aa

Per il principio di conservazione del momento angolare, se non subentrano forze esterne il lavoro rimane costante. Significa che il momento angolare si conserva, e che pertanto non è necessario spingere fintanto che il braccio risale ma è sufficiente farlo lungo il tratto discendente.

spada in discesa